技術資料

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構造解析用語
固有値演算 (Runge-Kutta method)

時間に応じて変動する物体の動的挙動を数学的に表現すると微分方程式の形になります。ここで、微分とは、時間あるいは空間による物体挙動の変化率(rate of change)を意味します。一方、微分方程式は、大きく常微分方程式(ordinary differential equation)と偏微分方程式(partial differential equation)に大別されます。前者は、物体挙動の変化率が一つの変数(variable)のみ依存します。後者は、変化率が複数の変数に依存する場合です。例えば、物体内の温度が時間と場所に応じて変化する場合であれば、このような熱伝達(heat transfer)挙動を数学的に表現するようになれば、偏微分方程式に該当します。

ルンゲ-クッタ法は、時間による変化率で表現される常微分方程式の近似解(approximate solution)を求める数値手法でよく知られています。この数値手法は、1900年代、ドイツの数学者ルンゲ(Runge)クッタ(Kutta)によって導入され、現在は物体の挙動の時間による変化を数値的に求める問題に対して非常に広く適用されています。この数値手法は、一般的な時間積分(time integration)手法と概念的には似ていますが、次のステップの時点で物体の挙動を計算するため平均化された時間変化率を使用するという点で大きな違いがあります。

平均化された時間変化率は、該当の時間ステップ(time step)の開始点、中間点そして終了点で計算された4つの変化率に重みを乗じて計算された傾きです。ルンゲ-クッタ法の最大の利点は、時間積分の誤差(error)が時間ステップの大きさの5乗として一般的な時間積分法での2乗に比べて著しく高い精度を示すことです。そして、物体の動的挙動の全体の時間区間については、時間ステップの大きさの4乗に比例する誤差を示すため、4次の時間積分手法に該当となり、このような文脈で4ルンゲ-クッタ法、あるいは、簡単にRK4手法で呼ばれています。

 
 
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