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構造解析用語
ヤコビアン (Jacobian)

私たちの周りでよく起きる現象はそれぞれその挙動を支配する因子が存在します。そして、その現状と因子との関係を数学的にも表現することができます。そして、挙動に影響を与える因子の間でも、互いに相関関係が存在する場合があります。しかし、相関関係を持つ因子の間の関係も数学的な表現が可能なため、挙動はどのような引数で表現するかによって数学的表現が異なる場合があります。

しかし、数学的表現の違いがあっても、その表現に含まれている引数間の関係を通じて相互に変換(transform)が可能です。このように相関関係を持つ因子で表現されている異なる数学的表現との間の変換は、19世紀ドイツの数学者カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ(Jacobi1804-1851)によって最初に研究されました。

上記の現象は、特定の学門分野に限定されなく、どの分野の問題にも同様に適用されます。もしその挙動が物体の空間上の座標である場合には座標変換(geometry transformation)と呼び、もし数学的な関数の場合には関数変換(function transformation)と呼びます。これらの挙動を相関関係を持っている異なる因子による関数で表現した場合、この関数の変換はヤコビ行列(Jacobi matrix)を通じて可能です。

ヤコビ行列とヤコビアンという用語は、数学者ヤコビの名前からの由来となります。物体の幾何学的形状の座標変換においてヤコビアンの物理的な意味は次のとおりです。1次元形状の場合には変換関係にある2つの直線の長さ比を、2次元の場合には変換関係にある2つの平面の面積比を、3次元の場合には体積比を意味します。従って、これらの物理的特性に応じる座標変換においては、ヤコビアンがゼロまたは負(-)の値を持つことができません。

 

 
 
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